定積分～6分の1公式の証明を3パターン示していく

\(\)

\(\displaystyle\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \) ・・・①の解き方は大きく3パターンあります。とても大事な公式なので覚えている人も多いですが,　証明の仕方も練習していきましょう。

普通に展開して解いていく

\((x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta\)　より,

(➀の左辺)\(=\left[\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}x^2+\alpha\beta x\right]_\alpha^{\beta}\)

\(=(\displaystyle\frac{\beta^3}{3}-\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}×\beta^2+\alpha \beta ×\beta)-(\displaystyle\frac{\alpha^3}{3}-\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}×\alpha^2+\alpha \beta ×\alpha) \)

\(=\displaystyle\frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\displaystyle\frac{1}{2}(\alpha+\beta )(\beta ^2-\alpha ^2)+\alpha \beta (\beta-\alpha)\)

\(=(\beta-\alpha)\{\displaystyle\frac{1}{3}(\beta^2+\beta \alpha+\alpha^2)-\displaystyle\frac{1}{2}(\beta+\alpha)^2+\alpha \beta\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(-\beta^2+2\alpha \beta-\alpha^2)\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

公式を利用

\(x-\beta=x-\alpha+\alpha-\beta\) と変形すると,

\((x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\)

\(=(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\)

(➀の左辺)\(=\left[\displaystyle\frac{(x-\alpha)^3}{3}+(\alpha-\beta)\displaystyle\frac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_\alpha^{\beta}\)

\(= \displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}+(\alpha-\beta)\displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^2}{2}-0 \)

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

置き換えをしていく

定積分の範囲に0があると計算が楽であることから,　定積分のうちの一方を0にするために,　\(t=x-\alpha\)とおきます。　

\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=1\)

\(x\)	\(\alpha　→　\beta\)
\(t\)	\(0　→　\beta-\alpha\)

(➀の左辺)\(=\displaystyle\int_0^{\beta-\alpha} t(t+\alpha-\beta)・1dt \)

\(\displaystyle\int_0^{\beta-\alpha} t^2+(\alpha-\beta)t　dt \)

\(\left[ \displaystyle\frac{t^3}{3}+(\alpha-\beta)\displaystyle\frac{t^2}{2} \right]_0^{\beta-\alpha}\)

\( \displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}- \displaystyle\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3 \)

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

いかがでしたでしょうか。自分に合うやり方を1つは確立していきましょう。