定積分~6分の1公式の証明を3パターン示していく

\displaystyle\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 ・・・①の解き方は大きく3パターンあります。とても大事な公式なので覚えている人も多いですが, 証明の仕方も練習していきましょう。

目次 [hide]

普通に展開して解いていく

(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta より,

(➀の左辺)=\left[\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}x^2+\alpha\beta x\right]_\alpha^{\beta}

=(\displaystyle\frac{\beta^3}{3}-\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}×\beta^2+\alpha \beta ×\beta)-(\displaystyle\frac{\alpha^3}{3}-\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}×\alpha^2+\alpha \beta ×\alpha)

=\displaystyle\frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\displaystyle\frac{1}{2}(\alpha+\beta )(\beta ^2-\alpha ^2)+\alpha \beta (\beta-\alpha)

=(\beta-\alpha)\{\displaystyle\frac{1}{3}(\beta^2+\beta \alpha+\alpha^2)-\displaystyle\frac{1}{2}(\beta+\alpha)^2+\alpha \beta\}

=\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(-\beta^2+2\alpha \beta-\alpha^2)

=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

公式を利用

x-\beta=x-\alpha+\alpha-\beta と変形すると,

(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)

=(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)

(➀の左辺)=\left[\displaystyle\frac{(x-\alpha)^3}{3}+(\alpha-\beta)\displaystyle\frac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_\alpha^{\beta}

= \displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}+(\alpha-\beta)\displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^2}{2}-0

=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

置き換えをしていく

定積分の範囲に0があると計算が楽であることから, 定積分のうちの一方を0にするために, t=x-\alphaとおきます。 

\displaystyle\frac{dt}{dx}=1

x\alpha → \beta
t0 → \beta-\alpha

(➀の左辺)=\displaystyle\int_0^{\beta-\alpha} t(t+\alpha-\beta)・1dt

\displaystyle\int_0^{\beta-\alpha} t^2+(\alpha-\beta)t dt

\left[ \displaystyle\frac{t^3}{3}+(\alpha-\beta)\displaystyle\frac{t^2}{2} \right]_0^{\beta-\alpha}

\displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}- \displaystyle\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3

=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

いかがでしたでしょうか。自分に合うやり方を1つは確立していきましょう。

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