相似な図形の面積比と体積比の関係

△ABCと△DEFの相似比が１：２であるとします。このとき,　△ABCと△DEFの面積比はどうなっているのでしょうか。

△ABC∽△DEFであるので,　BC：EF＝1：2であるから,　EF＝2BC

また,　AH：DI＝1：2であるから,　DI＝2AH

△ABCの面積＝BC×AH÷2

△DEFの面積＝EF×DI÷2＝2BC×2AH÷2＝4×△ABCの面積

よって,　△ABCと△DEFの相似比が1：2のとき,　面積比は1：4になります。面積は底辺×高さというように2つの掛け算で表されるので,　三角形に限らず一般に相似比が\(a：b\)の面積比は次のようになります。

相似比が\(a：b\)の図形の面積比は\(a^2：b^2\)になります。

相似な図形の面積は,　別々の図形の面積を比べるのではなく,　次のように,　辺や角が共通している三角形同士で行われることが多いので,　次はそのような三角形の面積についてみていきます。

△ABC∽△ADEで,　AD：DB=5：2のとき,　△ADEの面積と台形DEBCの面積の比を求めなさい。

△ADEと台形DEBCは相似な関係ではないので,　単純に\(5^2：2^2\)と計算することはできません。

△ABCの面積を\(S\),　三角形ADEの面積を\(T\)とおくと,　台形DEBCの面積は△ABCの面積\(S\)から△ADEの面積\(T\)を引くことによって求めることができます。

AD：DB＝5：2であるから,　AB：AD＝7：5である。

よって,　△ABC：△ADE\(=S：T=7^2：5^2=49：25\)

ここで,　　△ADEの面積：台形DEBCの面積\(=T：S-T=25：(49-25)=25：24\)

と,　比の差を使って面積を求めることができるのですが,　これは理解できるでしょうか。

比の差を使って面積を求めることができる理由

比の差を使わずに解くとどうなるのでしょうか。具体的な面積がわからないと計算ができないので,　△ABCの面積を文字を使って表してみましょう。△ABCの面積を\(k\)とおいてもいいですが,　それだと分数が入って少々計算が厄介です。なので,　少しテクニカルですが,　面積を\(49k\)とおいて考えてみます。　

△ABCの面積を\(49k\)とおくと,　△ADEの面積は,

\(49：25=49k：T\)　∴\(T=25k\)

台形DEBCの面積\(=49k-25k=24k\)

よって,　△ADEの面積：台形DEBCの面積\(=25k：24k=25：24\)

このように,　面積の比の差をとることによって,　面積比を求めることができることがわかりました。

まとめ

△ADEの面積を\(S_1\),　△ABCの面積を\(S_2\)とすると,　 △ADEの面積：△ABCのの面積：台形DEBCの面積\(=S_1：S_2：S_2-S_1\)