三角関数の加法定理

正弦,　余弦,　正接の加法定理

$$\sin(\alpha±\beta)=\sin\alpha \cos\beta±\cos\alpha \sin\beta$$ $$\cos(\alpha±\beta)=\cos\alpha \cos\beta ∓ \sin\alpha \sin\beta$$ $$\tan(\alpha±\beta)=\displaystyle \frac{\tan\alpha ± \tan\beta }{1∓\tan\alpha \tan\beta }$$ $$（複合同順）$$

（証明）

$\alpha>\beta$とし,　単位円周上に図のように,　4点$A(\cos\alpha, \sin\alpha), B(\cos\beta, \sin\beta), C(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta), E(1, 0)$をとる。このとき,

$AB^2=(\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2$

$=2-2(\cos\alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta)$,

$CE^2=\{1-\cos (\alpha - \beta)\}^2+{0-\sin (\alpha-\beta)}^2$

$=2-2\cos(\alpha-\beta)$

ここで,　単位円の弧ABに対する円周角と,　単位円の弧CEに対する円周角は等しいから,　弦ABと弦CEも等しい。

すなわち,　AB＝CEであるから　 $2-2(\cos\alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta) =2-2\cos(\alpha-\beta)$

式を整理して,　$\cos(\alpha-\beta)= \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$・・・①

$\alpha=\beta$のとき,　➀の左辺の $\cos(\alpha-\beta)= \cos0=1$

➀の右辺の $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta =\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha$

よって,　①式は $\alpha=\beta$ のときも成り立ちます。また,　 $\alpha<\beta$ のときも同様にして,　①が成り立つことがわかります。

これより,　任意の $\alpha, \beta$ に対して➀が成り立つことが示されました。

➀は任意の $\alpha, \beta$ に対して成り立つから,　 $\alphaを \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha$に置き換えると,

$\cos( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha -\beta)= \cos (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) \cos\beta + \sin (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) \sin\beta$

$\cos( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha -\beta) =\sin(\alpha+\beta),　\cos (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) =\sin\alpha,　\sin (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) =\cos\alpha$ であるから,

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta$ ・・・➁が示されました。

➀,　➁の$\beta を -\beta$ に置き換えると,　それぞれ,

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$・・・③

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta$ ・・・④

が得られます。➀,　③および➁,　④より,　正弦と余弦の加法定理が成り立つことが示されました。

正接の加法定理については,　正接がとり得る値の範囲,　すなわち$\cos(\alpha±\beta)≠0,　\cos\alpha≠0,　\cos\beta≠0$ のときを考えます。

➀,　➁,　③,　④から複合同順として,

$\tan(\alpha±\beta)$

$=\displaystyle \frac{\sin(\alpha±\beta)}{\cos(\alpha±\beta)}$

$= \displaystyle \frac{\sin\alpha \cos\beta±\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta ∓ \sin \alpha \sin\beta}$

$= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sin\alpha \cos\beta}{ \cos\alpha \cos\beta }±\displaystyle \frac{\cos\alpha \sin\beta}{ \cos\alpha \cos\beta }}{\displaystyle\frac{\cos\alpha \cos\beta}{ \cos\alpha \cos\beta} ∓ \displaystyle\frac{\sin \alpha \sin\beta}{ \cos\alpha \cos\beta}}$

$= \displaystyle \frac{\tan\alpha ± \tan\beta }{1∓\tan\alpha \tan\beta }$

2倍角の公式

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha$$ $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha -1$$

半角の公式

$$\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos \alpha}{2}$$ $$\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos \alpha}{2}$$

3倍角の公式

$$\sin 3\alpha=3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha$$ $$\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha$$