関数とは何か

変数

\(x,　y\)のように,　いろいろな値をとる文字のことを変数といいます。一方,　2や\(-3\)のように,　一つの値のみをもつ数を定数といいます。

関数

\(x\)の値を決めると,　それに対応して\(y\)の値がただ1つ決まるとき,　\(y\)は\(x\)の関数であるといいます。 このとき,　式で表すと,　\(y=(x\)を含む文字式)の形になります。

関数の具体例

関数の言葉の意味を見ても,　よくわからないと思いますので,　次の文章を例に,　関数とは何かについての理解を深めていきましょう。

次のうち,　\(y\)が\(x\)の関数であるのはどれか。関数であるときは,　\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。 1　120円のリンゴを\(x\)個買ったときの値段\(y\)円 2　面積が\(x\)cm\(^2\)の三角形の底辺\(y\)cm 3　1辺の長さが\(2x\)cmの正方形の面積\(y\)cm\(^2\) 4　身長\(x\)cmの年齢は\(y\)歳です。 5　1000円を,　\(x\)人で分けるときの一人当たりの金額\(y\)円

1　最初なので,　丁寧に解説していきます。まずは文字を使わずに,　具体的な値を当てはめて求めていきます。

リンゴ1個の値段は　120円です。

リンゴ2個の値段は　240円です。

リンゴ5個の値段は　600円です。

さて,　リンゴ5個の値段をどうやって計算したかというと,　・・・

120×5を計算しました。

では,　リンゴ\(x\)個ではどうなるでしょうか。\(120×x＝120x\)と書けます。

値段は\(y\)であったので,　 \(y=120×x＝120x\)と書くことができます。

よって,　\(y\)は\(x\)の関数です。

2　 三角形の面積は底辺×高さ÷2で求めることができます。わかっている数値を当てはめると,

\(x=\displaystyle\frac{y}{2}×\)高さ 　すなわち,　 \(y=\displaystyle\frac{2x}{高さ} \)

となり,　高さがわかっていないので,　\(x\)を代入しても\(y\)の値は1つに決まりません。よって,　これは関数ではありません。

注意　

ちなみに例えば高さが3cmのように示されていれば,　\(y=\displaystyle\frac{2}{3}x\)となり,　関数であるといえます。このように,　同じよう問題設定でも,　条件によって関数であったり,　関数でなかったりすることがあります。

3　図形の問題では,　実際にかいていくと理解しやすいです。特に周の長さは間違いやすいところがあるので,　

図をかくと一目瞭然ですね。周の長さは\(4×2x=8x\)であるから,

\(y=8x\)となり,　関数であることが分かります。

4　身長が同じでも年齢が違う人がいることから,　身長と年齢は必ずしも対応関係にはなりえません。よって関数ではありません。

5　1000円を\(x\)人で分けるから割り算をします。

\(1000÷x=\displaystyle\frac{1000}{x}\)

よって,　 \(y=\displaystyle\frac{1000}{x}\)　このように\(y\)を\(x\)の形で表すことができたので,　関数です。

まとめ

\(y=(xの文字式)\)の形で書くことができるとき,　\(y\)は\(x\)の関数であるといえます。