重心の性質を中点連結定理を使って証明する
dora| △ABCの各辺の中点をD, E, Fとし, BE, CFを結びます。このとき, AD, BE, CFが1点Gで交わることを証明しなさい。また, 線分AD, BE, CFがGによって, 2：1に分けられることを証明しなさい。 |
（証明）
| △BCGと△EFGにおいて, △ABCにおいて, F, Eは中点であるから, 中点連結定理より, BC：FE＝2：1・・・① BC∥FE BC∥FEより, 平行線の錯角は等しいので, ∠GBC＝∠GEF・・・② ∠GCB＝∠GFE・・・③ ➁, ③より, 2組の角が等しいので, △ABC∽△EFG 対応する辺の比は等しいので, ➀と合わせて, BG：GE＝2：1・・・④ CG：GF＝2：1・・・⑤ △ABCでBEとADの交点をHとする。 同様にして, BH：HE＝2：1・・・⑥ AH：HD＝2：1・・・⑦ ④, ⑥より, GとHは一致することがわかります。 ⑤, ⑥, ⑦より, 2：1に分けられることになります。 |
