大小関係のある場合の数の求め方

（1,　1）	〇〇〇〇〇||
（2,　1）	〇〇〇〇|〇|
（3,　1）	〇〇〇|〇〇|
（4,　1）	〇〇|〇〇〇 |
（5,　1）	〇|〇〇〇〇 |
（6,　1）	|〇〇〇〇〇 |
（2,　2）	〇〇〇〇||〇
（3,　2）	〇〇〇|〇|〇
（4,　2）	〇〇|〇〇|〇
（5,　2）	〇|〇〇〇|〇
（6,　2）	|〇〇〇〇|〇
（3,　3）	〇〇〇||〇〇
（4,　3）	〇〇|〇|〇〇
（5,　3）	〇|〇〇|〇〇
（6,　3）	|〇〇〇|〇〇
（4,　4）	〇〇||〇〇〇
（5,　4）	〇|〇|〇〇〇
（6,　4）	|〇〇|〇〇〇
（5,　5）	〇||〇〇〇〇
（5,　6）	|〇|〇〇〇〇
（6,　6）	||〇〇〇〇〇

このように対応させることによって,　〇と|の重複順列を考えればよいことになります。〇5個と|2個の順列に等しいから,　重複順列を考えて,　\(\displaystyle\frac{7!}{5!2!}= \displaystyle\frac{7×6×5!}{5!×2}=21 \)（通り）

A＞B型の解き方

今回も6の目〇5の目〇4の目〇3の目〇2の目〇1の目　を対応させます。A≧B型と違い,　 〇〇〇||〇〇 のような同じ目が出ないようにします。これを排除して,　表のオレンジ色の場合の数だけを求めるには,　5個の〇の,　両端および間からそれぞれ2か所を選べばよいです。

つまり,　^〇^〇^〇^〇^〇^の6か所の^から2か所選べばいいので,　\({}_6\mathrm{C}_2=15\) （通り）

A≧B≧C≧D型の解き方

さて,　いよいよ4人について考えますが,　2人の場合とやることはほとんど変わりません。　A,　Bの2人だったので,　|は2個でしたが,　今回はA,　B,　C,　Dの4人いるので,　|を4個用意します。求める場合の数は,　〇5個と|4個の重複順列であるので,　\(\displaystyle\frac{9!}{5!4!}= \displaystyle\frac{9×8×7×6×5!}{5!×4×3×2}=126 \)（通り）

A＞B＞C＞D型の解き方

A＞B型の解き方では,　A,　Bの2人だったので,　^から2か所を選びました。A＞B＞C＞Dでは,　4人いるので,　6つの^から4か所を選びます。　よって,　求める場合の数は,　 \({}_6\mathrm{C}_4=15\) （通り）

A＞B≧C＞D型の解き方

これは一度に考えることができません。ここで,　≧　⇔　＞＋＝であるので,　

A＞B≧C＞D 　⇔　 A＞B＞C＞D ＋ A＞B＝C＞Dと考えることができます。

A＞B＝C＞D の場合の数は,　 A＞B＞D と同じです。

上記の問題と同様に考えて,　 \({}_6\mathrm{C}_4+{}_6\mathrm{C}_3=15+20=35\)（通り）

いかがでしたでしょうか。よかったら次の記事も読んでくださいね。