三角関数の加法定理

正弦,　余弦,　正接の加法定理

$$\sin(\alpha±\beta)=\sin\alpha \cos\beta±\cos\alpha \sin\beta$$ $$\cos(\alpha±\beta)=\cos\alpha \cos\beta ∓ \sin\alpha \sin\beta $$ $$\tan(\alpha±\beta)=\displaystyle \frac{\tan\alpha ± \tan\beta }{1∓\tan\alpha \tan\beta }$$ $$（複合同順）$$

（証明）

\(\alpha>\beta\)とし,　単位円周上に図のように,　4点\(A(\cos\alpha, \sin\alpha), B(\cos\beta, \sin\beta), C(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta), E(1, 0)\)をとる。このとき,

\(AB^2=(\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2\)

\( =2-2(\cos\alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta)\),

\(CE^2=\{1-\cos (\alpha - \beta)\}^2+{0-\sin (\alpha-\beta)}^2\)

\(=2-2\cos(\alpha-\beta)\)

ここで,　単位円の弧ABに対する円周角と,　単位円の弧CEに対する円周角は等しいから,　弦ABと弦CEも等しい。

すなわち,　AB＝CEであるから　 \(2-2(\cos\alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta) =2-2\cos(\alpha-\beta)\)

式を整理して,　\(\cos(\alpha-\beta)= \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)・・・①

\(\alpha=\beta\)のとき,　➀の左辺の \(\cos(\alpha-\beta)= \cos0=1\)

➀の右辺の \(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta =\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\)

よって,　①式は \(\alpha=\beta\) のときも成り立ちます。また,　 \(\alpha<\beta\) のときも同様にして,　①が成り立つことがわかります。

これより,　任意の \(\alpha, \beta\) に対して➀が成り立つことが示されました。

➀は任意の \(\alpha, \beta\) に対して成り立つから,　 \(\alphaを \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha\)に置き換えると,

\(\cos( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha -\beta)= \cos (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) \cos\beta + \sin (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) \sin\beta \)

\( \cos( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha -\beta) =\sin(\alpha+\beta),　\cos (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) =\sin\alpha,　\sin (\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha) =\cos\alpha\) であるから,

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta\) ・・・➁が示されました。

➀,　➁の\(\beta を -\beta\) に置き換えると,　それぞれ,

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta\)・・・③

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta\) ・・・④

が得られます。➀,　③および➁,　④より,　正弦と余弦の加法定理が成り立つことが示されました。

正接の加法定理については,　正接がとり得る値の範囲,　すなわち\(\cos(\alpha±\beta)≠0,　\cos\alpha≠0,　\cos\beta≠0\) のときを考えます。

➀,　➁,　③,　④から複合同順として,

\(\tan(\alpha±\beta)\)

\(=\displaystyle \frac{\sin(\alpha±\beta)}{\cos(\alpha±\beta)}\)

\(= \displaystyle \frac{\sin\alpha \cos\beta±\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta ∓ \sin \alpha \sin\beta} \)

\(= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sin\alpha \cos\beta}{ \cos\alpha \cos\beta }±\displaystyle \frac{\cos\alpha \sin\beta}{ \cos\alpha \cos\beta }}{\displaystyle\frac{\cos\alpha \cos\beta}{ \cos\alpha \cos\beta} ∓ \displaystyle\frac{\sin \alpha \sin\beta}{ \cos\alpha \cos\beta}} \)

\(= \displaystyle \frac{\tan\alpha ± \tan\beta }{1∓\tan\alpha \tan\beta } \)

2倍角の公式

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha$$ $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha -1$$

半角の公式

$$\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos \alpha}{2}$$ $$\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos \alpha}{2}$$

3倍角の公式

$$\sin 3\alpha=3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha$$ $$\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha$$