不定方程式の性質

$p,　q$ を互いに素な整数とする。$x,　y,　k$ が整数のとき, $px=qy$ 　⇔　 $x=qk,　y=pk$

（証明）

（ⅰ）$x=qk, y=pk$　⇒　 $px=qy$ を示します。

px に x=qk を代入すると,　pqk

qy に y=pk を代入すると,　pqk

であるから,　 $px=qy$ が示されました。

（ⅱ）$px=qy$　⇒　$x=qk,　y=pk$($k$は整数) を示します。

$px=qy$ を $x$ について解くと,　$x=\frac{q}{p}y$

左辺の x は整数であるから,　右辺 $x=\frac{q}{p}y$ ・・・① も整数である。

p と q は互いに素であるから,　 $\frac{q}{p}$ は既約分数である。 $\frac{y}{p}$ が整数である必要があります。

すなわち,　 $\displaystyle \frac{y}{p}=k$ とおけるから,　 $y=pk$ 。これを①に代入すると,　 $x=\frac{q}{p}y=\frac{q}{p}×pk=qk$

（ⅰ）（ⅱ）より,　題意は示されました。