不定方程式の性質

\(p,　q\) を互いに素な整数とする。\(x,　y,　k\) が整数のとき, \(px=qy\) 　⇔　 \(x=qk,　y=pk \)

（証明）

（ⅰ）\(x=qk, y=pk \)　⇒　 \(px=qy\) を示します。

px に x=qk を代入すると,　pqk

qy に y=pk を代入すると,　pqk

であるから,　 \(px=qy\) が示されました。

（ⅱ）\(px=qy\)　⇒　\(x=qk,　y=pk \)(\(k\)は整数) を示します。

\(px=qy\) を \(x\) について解くと,　\(x=\frac{q}{p}y\)

左辺の x は整数であるから,　右辺 \(x=\frac{q}{p}y\) ・・・① も整数である。

p と q は互いに素であるから,　 \(\frac{q}{p}\) は既約分数である。 \(\frac{y}{p}\) が整数である必要があります。

すなわち,　 \(\displaystyle \frac{y}{p}=k\) とおけるから,　 \(y=pk\) 。これを①に代入すると,　 \(x=\frac{q}{p}y=\frac{q}{p}×pk=qk\)

（ⅰ）（ⅱ）より,　題意は示されました。