角の二等分線と線分比
dora| △ABCで, ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると, AB：AC=BD：CDである。 |
証明には二等辺三角形を利用するために, ADに平行な補助線をひくことがポイントです。
∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Cを通り, 辺DAに平行な直線をひき, 直線BAとの交点をEとします。
| 角の二等分線より, ∠BAD＝∠CAD・・・① 作図により, AD∥ECであるから, 平行線の同位角は等しいので, ∠BAD＝∠AEC・・・② 平行線の錯角は等しいので, ∠CAD＝∠ACE・・・③ ①, ②より, ∠CAD＝∠AEC・・・④ ③, ④より, ∠AEC＝∠ACE・・・⑤ ⑤より, 2つの角が等しいので, △ACEは二等辺三角形である。 よって, AC＝AE・・・⑥ △BECで, AD∥ECであるから, AB：AE＝BD：CD・・・⑦ ⑥, ⑦より, AB：AC＝BD：CDが示されました。 |
⑦では平行線と線分の比の関係を利用しました。二等分線の性質は今後多く出てくるので, しっかり理解していきましょう。
これが分かるようになることで, 以下の長さがわかります。
図のDCは, AB：AC＝BD：DCの関係があるので,
18：10＝9：DC すなわち, 18×DC＝10×9より, DC＝5とわかります。
以上です。いかがでしたでしょうか。
