立体の表面積

立体の表面積

立体の表面積を求めるには,　展開図を描いて,　底面積と側面積を求めて和を出します。

三角柱の表面積

底面は,　底面\(a\),　高さ\(b\)　の直角三角形です。側面は,　縦\(h\),　横\(a,　b,　c\)の長方形です。

底面積は,　\((a×b÷2)×2=ab\)

側面積は,　\(h×a+h×b+h×c=h(a+b+c)\)

よって,　三角柱の表面積\(=\)底面積＋側面積\(=ab+h(a+b+c)\)

円柱の表面積

底面は,　半径\(r\)の円が2つ,　側面は縦\(h\),　横は底面の円の周の長さです。

底面積\(＝\pi×r×r×2=2\pi r^2\)

側面積\(=h×2\pi r=2\pi hr\)

表面積＝底面積＋側面積\(=2\pi r^2+2\pi hr=2\pi r(r+h)\)

円錐の表面積

底面は半径\(r\)の円が1つ,　側面は半径が母線\(ℓ\)周の長さが底面の円の周の長さのおうぎ形です。

底面積\(=\pi r^2\)

側面積は半径×おうぎ形の弧の長さ÷2であるから,　おうぎ形の弧の長さ＝底面の円周の長さより,

側面積\(=ℓ×2\pi r÷2=\pi ℓr\)

よって,　表面積\(=\pi r^2+\pi ℓr=\pi (r+ℓ)\)

球の表面積

球の表面積は,　その球の中心を通る平面で切ったときの切り口の円の面積の4倍になることがわかっています。球の展開図は通常考えません。また,　導出には高校数学の知識を要するので,　ここでは結果のみを示します。導出法を知りたい場合は,　高校数学の積分を学習してみてください。

半径\(r\)の球の表面積Sは,　\(S=4\pi r^2\)