中間値の定理について
dora連続の復習
| 関数\(f(x)\)において, 極限値\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \)が存在し, かつ \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) が成り立つとき, \(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという。 |
中間値の定理とは
| 関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続で, \(f(a)≠f(b)\)ならば, \(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の実数\(k\)に対して \(f(c)=k\)を満たす実数 \(c\) が, \(a\)と\(b\)の間に少なくとも１つある。 |
上記のうち特に\(k=0\)のときが重要である。
| 関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続で, \(f(a)\)と\(f(b)\)が異符号ならば, 方程式\(f(x)=0\)は\(a<x<b\)の範囲に少なくとも１つの実数解をもつ。 |
| 関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続で, \(f(a)\)と\(f(b)\)が異符号ならば, 方程式\(f(x_0)=0\)を満たす実数\(x_0(a<x_0<b)\)が存在する。 |
定義内の\(a\)と\(b\)の大小関係が明らかでない場合
| \(f(a)\)と\(f(b)\)が異符号ならば, 方程式\(f(x)=0\)は\(a\) と \(b\) の間に少なくとも1つの実数解をもつ。 |
\(f(x)\)が\(a<x<b\)の範囲で単調増加(減少)関数の場合
| 関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続で, \(f(a)\)と\(f(b)\)が異符号ならば, 方程式\(f(x_0)=0\)を満たす実数\(x_0(a<x_0<b)\)がただ1つ存在する。 |
中間値の定理の適用例
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